薛定谔方程的简单推导

薛定谔方程（英语：Schrödinger equation）是由奥地利物理学家薛定谔在1926年提出的一个用于描述量子力学中波函数的运动方程，被认为是量子力学的奠基理论之一。

在这里，将简单介绍薛定谔方程的推导过程。从形式上来看，推导的过程并不复杂，主要是对方程物理意义的理解。

预备知识

函数知识，微积分

这里需要一些简单的微分知识

波

在高中课本上，质点做简谐运动的位移可以用下面的方程描述

\[ y=A\sin (\omega t+\phi_{0}) \]

所产生的简谐波可以用如下波动方程表示

\[ y=A\sin[2\pi(\frac{t}{T}-\frac{x}{\lambda})] \]

再把\( \omega = \frac{2\pi}{T} \)、\( k = \frac{2\pi}{\lambda} \)代入，可得

\[ y= A\sin(\omega t-kx)=-A\sin(kx-\omega t) \]

（\( \phi_{0} \)：初相位，\( \omega \)：角频率，\( k \)：波数，\( T \)：周期，\( \lambda \)：波长）

动量和能量

动量

\[ p=mv \]

动能

\[ E_{k}=\frac{1}{2}mv^2 \]

势能

\[ E_{p}=\frac{1}{2}kx^2 \]

质能方程

\[ E=mc^2 \]

光子能量

\[ E=h\nu=pc \]

物质波

普朗克的能量量子化假说

\[ E=h \nu \]

（\( E \)：能量，\( h \)：普朗克常数，\( \nu \)：频率，\( c \)：光速，\( \lambda \)：波长）

由\( v=\lambda \nu \) 可得

\[ E=h \nu =\frac{hc}{\lambda} \]

两边同时除以\( c \)

可得

\[ \frac{E}{c} = \frac{h}{\lambda} \]

由于E=pc ，可得

\[ p= \frac{h}{\lambda} \]

推导过程

定义波函数\( \psi \) 为关于时间\( t \) 和位移\( x \) 的函数，可以表示如下

\[ \psi (x,t) =Ae^{i(kx-\omega t)} \]

由欧拉公式\(e^{ix} = \cos x + i\; \sin x \) ，可将等号右边表示成下面的形式

\[ \psi (x,t) =A\cos (kx-\omega t)+iA\sin (kx-\omega t) \]

这个方程表示粒子的波动，如何把波动和粒子所具有的物理量相结合呢？对其求导应该是个不错的方法。由于\( \psi (x,t) \) 是一个二元函数，于是我们需要分别对\( x \)和\( t \)求导，两个变量对其中一个变量求导，需要把另一个变量看作常量。

对\( \psi (x,t) \) 求\( x \) 的导数，可得

\[ \frac{\partial \psi (x,t) }{\partial x} = A\;ike^{i(kx-\omega t)} \]

细心留意的话可以发现实际上就是

\[ \frac{\partial \psi (x,t) }{\partial x} = ik\;\psi(x,t) (1) \]

对\( \psi (x,t \) )求\( t \) 的导数，可得

\[ \frac{\partial \psi (x,t) }{\partial t} = -i\omega Ae^{i(kx-\omega t)}=-i\omega \psi(x,t) (2) \]

而为了寻找与能量、动量的关系，需要在两边同时乘以\( -i\frac{h}{2\pi} \) ，对（1）式，有

\[ -i\frac{h}{2 \pi}\frac{\partial \psi (x,t) }{\partial x} = -i\frac{h}{2\pi}\times ik\;\psi(x,t) \]

由于\( k =\frac{2 \pi}{\lambda} \) ，有

\[ -i\frac{h}{2 \pi}\frac{\partial \psi (x,t) }{\partial x} \\= -i\frac{h}{2\pi}\times ik\;\psi(x,t ) \\= \frac{h}{2\pi}\times \frac{2\pi}{\lambda} \times \psi(x,t) \ =\frac{h}{\lambda} \psi(x,t) \\= p \psi(x,t) \]

而对（2）式，则有

\[ -\frac{h}{2\pi} \frac{\partial \psi (x,t) }{\partial t} = -\frac{h}{2\pi}\times(-\omega \psi(x,t)) \]

由于\( \omega = 2\pi \nu \) ，可得

\[ -i\frac{h}{2\pi} \frac{\partial \psi (x,t) }{\partial t} = -i\frac{h}{2\pi}\times(-i\omega \psi(x,t)) \\= -\frac{h}{2\pi}\times2\pi \nu\psi (x,t) \\= -h\nu \psi(x,t)=-E\psi (x,t) \]

用约化普朗克常数（狄拉克常数）\( \hbar=\frac{h}{2\pi} \) 替换式中的\( \frac{h}{2\pi} \) ，可得

\[ p \psi (x,t)=-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\psi (x,t) \]

\[ E \psi (x,t)=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi (x,t) \]

对动量\( p \) 有算符\[ -i\hbar\frac{\partial}{\partial x} \]

对能量\( E \) 有算符\[ i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \]

在一维的情况下（位移用x轴表示）我们推导出了上面的结论，现在让我们把方程推广到三维空间。

这时，三维空间中的任何一个向量均可分解为x,y,z坐标轴上的分向量，且这些分向量均可表示为一定倍数的单位向量——\( \lambda e_{x}、\lambda e_{y}、\lambda e_{z} \) 。

此时\( p \) 可以表示为

\[ p=e_{x}(-i\hbar\frac{\partial }{\partial x})+e_{y}(-i\hbar\frac{\partial }{\partial y})+e_{z}(-i\hbar\frac{\partial }{\partial z}) \\=-i\hbar(e_{x}\frac{\partial }{\partial x}+e_{y}\frac{\partial }{\partial y}+e_{z}\frac{\partial }{\partial z} ) \\=-i\hbar\triangledown \]

\( \triangledown \) 是一个算符，定义为

\[ \triangledown \equiv e_{x}\frac{\partial }{\partial x}+e_{y}\frac{\partial }{\partial y}+e_{z}\frac{\partial }{\partial z} \]

在牛顿力学中，\( E=E_{k}+E_{P} \) ，具体来写就是

\[ E=\frac{1}{2}mv^2+U(x,y,z,t) \]

而动能又可以表示为\( \frac{p^2}{2m} \) ，可得

\[ E=\frac{p^2}{2m}+U(x,y,z,t) \]

带入上面得到的算式，得

\[ i\hbar\frac{\partial}{\partial t}=\frac{1}{2m}(-i\hbar\triangledown)^2+U(x,y,z,t ) \\=-\frac{\hbar^2}{2m}\triangledown^2+U(x,y,z,t) \]

将算符作用于波函数\( \psi (x,y,z,t) \) 可得

\[ i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi (x,y,z,t)=(-\frac{\hbar^2}{2m}\triangledown^2+U(x,y,z,t)) \psi (x,y,z,t) \]

也即

\[ i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi (x,y,z,t)=-\frac{\hbar^2}{2m}\triangledown^2\psi (x,y,z,t)+U(x,y,z,t)\psi (x,y,z,t) \]

这正是含时的薛定谔方程。

参考资料

[1] 石川憲二,（日）川端洁, 李梅 译, 欧姆社学习漫画——漫画量子力学, 科学出版社, 169-183.

[2]维基百科. https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%96%9B%E5%AE%9A%E8%B0%94%E6%96%B9%E7%A8%8B.

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